حل معادلة من الدرجة الثانية

حل معادلة من الدرجة الثانية ، حيث تكون معادلات الدرجة الثانية نوعًا من المعادلات الرياضية ، وفي الحقيقة هناك أكثر من طريقة لحل هذا النوع من المعادلات ، وفي هذه المقالة سنشرح بالتفصيل ماهية الدرجة الثانية المعادلة هي ، وسنشرح طرق حل هذه المعادلات بخطوات مفصلة مع أمثلة محلولة لكل نوع.

حل معادلة من الدرجة الثانية

المعادلة التربيعية (بالإنجليزية: Quadratic Equation) هي معادلة رياضية جبرية ذات متغير رياضي من الدرجة الثانية. يسمى هذا النوع من المعادلات أيضًا بالمعادلات التربيعية ، والصيغة الرياضية العامة لمعادلة الدرجة الثانية هي كما يلي: [1]

أ س تربيع + ب س + ج = 0

بينما:

• الرمز أ: هو المعامل الرئيسي للمصطلح x2 بشرط أن يكون A 0.
• الرمز ب: هو المعامل الرئيسي للمصطلح x.
• الرمز ج: هو الحد الثابت في المعادلة ، وهو رقم حقيقي.
• الرمز x تربيع: هو الحد التربيعي في المعادلة ، ووجوده مطلوب في المعادلة التربيعية.
• الرمز x: هو المصطلح الخطي في المعادلة ، ووجوده ليس مطلوبًا بواسطة المعادلة التربيعية ، حيث يمكن أن يكون b = 0.

أيضًا ، هناك عدة طرق مختلفة لحل المعادلات التربيعية أو المعادلات التربيعية ، وهذه الطرق الرياضية هي:

• حل معادلة تربيعية في الصيغة التربيعية.
• حل معادلة تربيعية بإكمال المربع
• حل معادلة من الدرجة الثانية بطريقة حساب المميز أو ما يسمى بالقانون العام.
• حل المعادلة التربيعية بيانيا.

حل القانون العام معادلة من الدرجة الثانية

يستخدم القانون العام لحل أي معادلة تربيعية ، ولكن لاستخدام هذا القانون ، يلزم أن تكون خاصية المعادلة التربيعية موجبة أو مساوية للصفر ، والمميز هو ما يقع تحت الجذر في القانون العام ويرمز إليه بـ الرمز ويسمى دلتا ، والقانون العام في شكل الصيغة الرياضية التالية: (2)

X = (- ب ± (ب² - 4 أ ج) √) / 2 أ

متميز = ب² - 4 أ ج

∆ = ب² - 4 أ ج

أينما كان:

• الرمز أ: هو المعامل الرئيسي للمصطلح x2 بشرط أن يكون A 0.
• الرمز ب: هو المعامل الرئيسي للمصطلح x.
• الرمز ج: هو الحد الثابت في المعادلة ، وهو رقم حقيقي.

يعني الرمز ± وجود حلين وجذرين للمعادلة التربيعية ، على النحو التالي:

• Q1 = (-b + (b² - 4a c) √) / 2a
• Q2 = (-b - (b² - 4a c) √) / 2a

أينما كان:

لكن ما يحدد عدد حلول المعادلة التربيعية أو حتى غياب الحلول هو قيمة وضخامة الخاصية ، من خلال ما يلي:

متميز = ب² - 4 أ ج

∆ = ب² - 4 أ ج

بينما:

Δ> صفر: إذا كان حجم المميز موجبًا ، فسيكون للمعادلة حلين ، وهما x 1 و x2.

Δ = صفر: إذا كان حجم المميز صفراً ، فإن المعادلة لها حل مشترك واحد وهو x.

Δ <صفر: إذا كان حجم المميز سالبًا ، فلن يكون للمعادلة حل حقيقي ، وبالتالي فإن الحل هو رقم مركب.

على سبيل المثال ، لحل المعادلة x تربيع + 2x - 15 = 0 في القانون العام ، يكون الحل كما يلي:

X² + 2x - 15 = 0

أولاً ، نحدد معاملات المصطلحات حيث أ = 1 ، ب = 2 ، ج = -15.

نجد قيمة المميز Δ من خلال القانون:

∆ = ب² - 4 أ ج

∆ = 2² - (4 × 1 × -15)

∆ = 64

وبما أن الحل موجب ، فهذا يعني أن المعادلة التربيعية لها حلين أو جذران ، وهما x 1 و x 2.

نجد قيمة الحل الأول × 1 للمعادلة التربيعية من خلال المعادلة.

س 1 = (-2 + (2² - (4 × 1 × -15)) √) / 2 × 1

س 1 = (-2 + 64 درجة) / 2 × 1

س 1 = 3

نجد قيمة الحل الثاني x 2 للمعادلة التربيعية من خلال المعادلة.

Q2 = (-b - (b² - 4a c) √) / 2a

س 2 = (-2 - 64 درجة) / 2 × 1

س 2 = -5

هذا يعني أنه بالنسبة للمعادلة x تربيع + 2x - 15 = 0 ، فإن حلين أو جذر هما x 1 = 3 و x 2 = -5.

حل معادلة تربيعية باستخدام طريقة التمييز

في الواقع ، الطريقة المميزة هي نفس طريقة القانون العام لحل المعادلات التربيعية. على سبيل المثال ، لحل المعادلة الرياضية التالية من الدرجة الثانية 2 × تربيع - 11 × = 21 باستخدام طريقة التمييز ، يكون الحل كما يلي: [2]

تحويل هذه المعادلة 2 س تربيع - 11 س = 21 إلى الصورة العامة للمعادلات التربيعية ، حيث يتم نقل 21 إلى الجانب الآخر من المعادلة لجعلها على هذا النحو ، 2 × 2 - 11 س - 21 = 0.

نحدد معاملات المصطلحات حيث أ = 2 ، ب = -11 ، ج = -21.

نجد قيمة المميز Δ من خلال القانون:

∆ = ب² - 4 أ ج

∆ = 11-² - (4 × 2 × -21)

∆ = 47

وبما أن الحل موجب ، فهذا يعني أن المعادلة التربيعية لها حلين أو جذران ، وهما x 1 و x 2.

نجد قيمة الحل الأول × 1 للمعادلة التربيعية من خلال المعادلة.

س 1 = (11 + (11² - (4 × 2 × -21)) √) / 2 × 2

X 1 = (11 + 47√) / 2 × 12

س 1 = 7

نجد قيمة الحل الثاني x 2 للمعادلة التربيعية من خلال المعادلة.

Q2 = (-b - (b² - 4a c) √) / 2a

X 2 = (11-47√) / 2 × 2

س 2 = -1.5

هذا يعني أنه بالنسبة للمعادلة 2x² - 11x - 21 = 0 ، فإن حلين أو جذر هما x 1 = 7 و x 2 = -1.5.

حل معادلة من الدرجة الثانية مجهول واحد

حيث يتم استخدام طريقة إكمال المربع لحل المعادلة الرياضية من الدرجة الثانية بمجهول واحد ، وتعتمد طريقة الحل هذه على كتابة المعادلة التربيعية بالصيغة الرياضية التالية: [3]

 أ س تربيع + ب س = ج

أينما كان:

الرمز أ: هو المعامل الرئيسي للمصطلح x2 بشرط أن يكون A 0.

الرمز ب: هو المعامل الرئيسي للمصطلح x.

الرمز ج: هو الحد الثابت في المعادلة ، وهو رقم حقيقي.

المبدأ هو إكمال المربع في العدد أ س تربيع + ب س ، وبالتالي الحصول على مربع كامل في الجانب الأيسر من المعادلة ورقم آخر في الجانب الأيمن ، وذلك من خلال الخطوات التالية:

قسمة طرفي معادلة الدرجة الثانية على معامل المصطلح المربع وهو المعامل أ.

نقل المدة المحددة للمعادلة إلى الجانب الآخر من المعادلة لجعلها خاضعة للقانون.

أضف إلى كلا طرفي المعادلة الأخيرة مربعًا من نصف معامل الحد الخطي ، وهو المعامل ب.

حل المعادلة الناتجة بعد إضافة مربع نصف المعامل ب.

كاريبو

سبيل المثال المثال لحل المعادلة الرياضية من الدرجة الثانية 5 س² - 4 س - 2 = 0

قسمة طرفي المعادلة من الدرجة الثانية على معامل الحد التربيعي وهو المعامل أ = 5 ، لينتج ما يلي:

س² - 0.8 س - 0.4 = 0

قل المعادلة الحد من المعادلة إلى طرف المعادلة لجعله لجعله يعمل بقانون استمرار المعادلة على هذا النحو:

س² - 0.8 س = 0.4

إضافة إلى طرفي المعادلة الجديدة مربع نصف معامل الحد الخطي وهو المعامل ب = -0.8 ، توها على هذا النحو:

ب = -0.8

(2 / ب) ² = (0.8 / 2) ² = (0.4) ² = 0.16

عادلة المعادلة على هذا النحو س² - 0.8 س + 0.16 = 0.4 + 0.16

بعد إختصار وتبسيط المعادلة الناتجة تصبح:

(س - 0.4) ² = 0.56

حل المعادلة الناتجة ، يرحب على هذا النحو:

(س - 0.4) ² = 0.56

هههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههه

س 1 - 0.4 = 0.56√

س 1 - 0.4 = 0.74833

س 1 = 0.74833 + 0.4

س 1 = 1.14

س 2 - 0.4 = 0.56√

س 2 - 0.4 = -0.74833

س 2 = -0.74833 + 0.4

س 2 = 0.3488

وهذا يعني أن للمعادلة 5 س² - 4 س - 2 = 0 ، حلان أو جذران س 1 = 1.14 و س 2 = -0.3488.

حل معادلة من الدرجة الثانية بمجهولبن

حل المعادلة الرياضية من الدرجة الثانية ذات مجهولين ، بأي طريقة يمكن لحل المعادلات التربيعية ما عدا طريقة الجذر التربيعي ، وإن المعادلة التربيعية بمجهولين تعني أن الحد الخطي وهو يساوي الحد الأدنى من الدرجة الثانية ، و # حل المعادلة من الدرجة الثانية بمجهولين بطريقة التحليل إلى عوامل ، معللة ذات حدود ، وهي الحد التربيعي ، والحد التربيعي ، والحدود ، والحدود جـ ، إلى معادلة مكتوبة على شكل حدين مضروبين ببعضهما البعض ، وذلك بعد استخدام طريقة التجربة والخطأ ، وفي الواقع هذه الطريقة على أساس التخمين الرياضي ، وهناك حالتين لهذه الطريقة حارة: [4]

معامل الحد التربيعي واحد

وهذا يعني أن معامل الدرجة الأولى هو معامل الحد التربيعي ، وهذا يعني أن هذا النوع من التعليم يتم قياسه عند الدرجة الأولى ، وبدء قيمة الرقمين ن و م يتم كتابتهم على هذا الشكل التالي:

(س + ن) (س + م)

ومن هذه سنتنج:

س 1 = -م

س 2 = -ن

وعلى سبيل المثال لتحليل المعادلة من الدرجة الثانية الأتية س² + 3 س - 10 = 0 ، يجب أن نبحث عن عددين حاصل جمعهما دولة معتدلة الحد الخطي ، وهو 3 ، وناتج ضربهما قيمة الحد جـ وهو -10 و هما:

ن = 5

م = -2

حيث إن مجموع العددين م و ن هو 3 ، وحاصل ضربهما هو -10 مما يعني:

م + ن = ب

5 + -2 = 3

م × ن = جـ

5 × -2 = -10

ثم كتابتهم على هذا الشكل التالي:

(س +5) (س -2)

ومن هذه سنتنج:

س 1 = -5

س 2 = 2

معامل الحد التربيعي لا يساوي واحد

مواليد المواليد الجدد

أولا: كتابة المعادلة على الصورة العامة للمعادلة التربيعية:

أ س² + ب س + جـ = 0

ثانيً: إيجاد حاصل ضرب أ × جـ ، ثم إيجاد ثم إيجاد حلقات عددين حاصل برنامج مساهما في دولة ، وناتج ضربهما أ × جـ.

ثالثاً: كتابة العددين م و ن ، مكان المعامل ب في المعادلة على صورة جمع كالأتي:

أ س² + (ن + م) س + جـ = 0.

رابعاً: فصل العددين ن و م عن بعضهما بضربهما بالحد الخطي س ، يرحب المعادلة على هذا النحو:

أ س² + ن س + م س + جـ = 0.

خامساً: تحليل أول حدين أس ² + ن ، وذلك بإخراج عام ، وذلك بأشكال مختلفة

سادساً: تلفظ أخر حدين م س + جـ ، بإخراج عامل بينهما ، وذلك يكون ما بقي داخل الأقواس متساوية.

سابعاً: أخذ القوس المتبقي كعامل مشترك ، ثم يتم كتابة المعادلة التربيعية على الصورة النهائية ، وذلك على صورة حاصل ضرب الحدين.

ثامناً: إيجاد الحلول لهذه المعادلة الرياضية.

وعلى سبيل المثال لتحليل المعادلة من الدرجة الثانية 4 س² + 15 س + 9 = 0 ، اتبع الخطوات السابقة:

أولا: كتابة المعادلة على الصورة العامة للمعادلة التربيعية:

4 س² + 15 س + 9 = 0

ثانيً: إيجاد حاصل ضرب أ × جـ ، ليكون 4 × 9 = 36 ، ثم إيجاد عددين حاصل جمعهما تساوي مساوية 15 ، وناتج ضربهما تساوي 36 مساحة:

ن = 3

م = 12

ثالثاً: كتابة العددين م و ن ، مكان المعامل ب في المعادلة على صورة جمع كالأتي:

4 س² + (3 + 12) س + 9ـ = 0.

رابعاً: فصل العددين ن و م عن بعضهما بضربهما بالحد الخطي س ، يرحب المعادلة على هذا النحو:

4 س² + 3 س + 12 س + 9 = 0.

خامساً: تحليل أول حدين الدائرة 4 س² + 3 ، وذلك بإخراج عام ، عامل ، عام يؤخذ الرقم 3 كعامل مشترك ، لتكتب المعادلة على الصورة الآتية:

س (4 س + 3).

سادساً: تحليل أخر حدين 12 س + 9 ، وذلك بإخراج عامل مشترك ، حيث يؤخذ الرقم 3 كعامل مشترك ، لتكتب المعادلة على الصورة الآتية:

3 (4 س + 3).

سابعاً: أخذ القوس المتبقي كعامل مشترك ، حيث أخذ أخذ الحد (4 س + 3) كعامل مشترك ، لتكتب المعادلة على النحو:

(4 س + 3) × (س + 3) = 0.

ثامناً: إيجاد الحلول للمعادلة ، حيث ينتج من المعادلة ما يلي:

(4 س + 3) = 0 ، ومنه ينتج أن س 1 = -0.75

(س + 3) = 0 ، ومنه ينتج أن س 2 = -3

وهذا يعني أن للمعادلة 4 س² + 15 س + 9 = 0 ، حلان أو جذران س 1 = -0.75 و س 2 = -3.

• قانون حل معادلة من الدرجة الثانية
• حل معادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد
• حل معادلة من الدرجة الثانية بمجهولين
• حل معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد
• حل معادلة من الدرجة الثانية بالمميز
• حل معادلة من الدرجة الثانية بالآلة الحاسبة
• حل معادلة من الدرجة الثانية اون لاين
• حل معادلة من الدرجة الثانية في متغيرين